Volumen de un líquido en un cilindro en posición horizontal

Hace unos meses iba en el bus, y se me ocurrió calcular el volumen de un líquido en un cilindro en posición horizontal. Sin embargo tenía el problema de que hace ya rato que no hago nada que tenga ver con mate, y la verdad es que prácticamente lo único que me acordaba era del área del círculo.
Entonces haciendo uso de lo poco que me acordaba, me puse a calcular poco a poco el asunto con poca cantidad de información.


Los datos que hay que tener son:
- El radio del cilindro (R)
- el largo del cilindro (L)
- la altura del líquido (h)







Si h <= r (si la altura del líquido no se pasa del centro)



El que llega al gráfico de la izquierda, ya tiene prácticamente el problema resuelto.
Sacamos el área del sector circular y luego le restamos el área del triángulo.
Esa sección se multiplica por 2 y da el área del líquido y luego basta con multiplicar por el volumen para sacar el volumen del líquido.

Área de triángulo: base*altura/2
At = b(r-h)/2

Fórmula de la hipotenusa:
r2 = (r - h)2 + b2
b2 = r2 - (r - h)2
= r2 - (r2 - 2rh + h2)
= 2rh - h2
b = raíz(2rh - h2)

=> At = raíz(2rh - h2)(r - h)/2

Área del sector circular: r2*ángulo/2
As = r2*ang/2
Ese de fijo no me acordaba. Entonces con saber que el área de un círculo es Πr2, que es dada en radianes (medida a partir del radio), que el círculo tiene 360 grados, y que Π en grados es 180, entonces cabría inferir que el área del círculo es su cantidad de grados entre 2 por el radio al cuadrado, y así igual con el sector circular.

Obtenemos el ángulo.
cos(ang) = (r-h)/r = 1- h/r. Mejor ni digo como llegué a eso sin buscar en libros ni Internet.
ang = acos(1-h/r)

=> As = r2*acos(1-h/r)/2

Ahora, el área de la porción ocupada por el líquido es:
Ap = 2(As - At)
= (r2*acos(1-h/r)/2 - raíz(2rh-h2)(r - h)/2)*2
= r2*acos(1-h/r) + (h-r)*raíz(2rh-h2)

El volumen del líquido en el cilindro sería:

V = L(r2*acos(1-h/r) + (h-r)*raíz(2rh-h2))



Si h > r (si la altura del líquido se pasa del centro)



Sacamos el área del círculo:
Ac = Πr2
Ahora, el área de la porción ocupada por el líquido sería:
Ap2 = Ac - Ap, donde Ap ahora es el área vacía del círculo

=>

V = L(Ac - Ap)

4 comentarios:

jsanca dijo...

Estaria bueno hacer un Midlet que le realice el calculo automaticamente, y poder hacerlo desde el celular, para las mentas perezosas.

Rodolfo dijo...

Gracias me ahorraste resto de trabajo gracias

jesus dijo...

Estimado Carlos,
Muy buena la explicación..esta super claro y es muy parecido a lo que ando buscando...
La única parte que no entendí mucho, fue calcular el área del sector circular...En fin...Mi consulta es la siguiente:
¿Como podría despejar la variable "H"?...lo que pasa es que tengo un estanque cilíndrico y cuando le hecho 100, 50, 200 etc. litros de agua me gustaría saber la altura en que este queda...imagino que despejando "H" sabré ese dato...porque todos los otros valores se podrían obtener al medir el estanque cilindrico...Ojala encontrar la respuesta en tu blog..que desde ya esta super bueno...

Muchas Gracias...

felesneger@gmail.com

Jason dijo...

Muchas gracias me ha servido bastante.